育児休業給付金について質問です。
正社員として数年働いていました。妊娠判明後転職しパート(雇用保険加入)として８ヶ月勤務し産休・育休に入りました。育児休業給付金の対象になっているのか知りたいです。

正社員として数年勤務した会社を退職後、失業給付の受給資格の決定を受けたかどうかによります。
つまり離職票を持ってハローワークで手続をしたかどうかです。

育児休業基本給付金の受給資格は、
①満1歳未満の子を養育するために事業主に申出、育児休業を取得した65歳未満の一般被保険者であること
②65歳未満の一般被保険者であって、育児休業を開始した日の前2年間に、賃金の支払の基礎となった日が11日以上ある月が通算して12ヶ月以上あること
の両方を満たすことが要件です。

問題は、おそらく②のほうで、過去2年間に被保険者期間が12ヶ月以上必要となりますが、その12ヶ月というのは最後の雇用保険の基本手当の受給資格を受けた後のものに限ります。

転職活動についてです。
ハローワークに出ている求人に対して、紹介状なしで直接応募することはできるのでしょうか？

求人欄に紹介状添付と今はだいたい記載されてます。ようは質問者さんのようにいきなり電話かかってこられても困るからです。
たまに、求人側もハローワークからの連絡後に紹介状と共に履歴書を送れという求人も有ります。
ハローワーク開いてる時間に行けないとか、土曜日は求人先が休みでハローワーク行っても意味がないとかで直接と考えておられるんでしょうけど、職安も融通が聞くので開いてる時に職安に行き平日再度職安が求人先に連絡入れて返答等を留守電に入れてくれますので取り敢えず正規のルートから先方にアタックしてください。

A自動車のH工場で期間従業員をしていたのですが10月下旬退職
そして11月中旬にまたA自動車H工場に期間従業員として再赴任することになったのですが
雇用保険被保険者証を持って来いとのことです
同じ会社の同じ工場なんですがどうすれば手に入れることが出来るんでしょうか？

お住まいの住所を所轄するハローワークに行かれれば、身分証明書を持参すれば、簡単に再発行していただけますが、加入手続きに必要なだけですので、手元にない場合は、その旨を担当者に話されれば、紛失との扱いで加入手続きを行っていただけますよ。

勿論、

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